Lineární prostor

O kurzu

V dnešním kurzu si probereme látku z kapitoly lineární prostor. Zavedeme si nové pojmy a naučíme se řešit maticové rovnice.

1) Ověřte, zda jsou vektory \(\vec a=(5,8,-4)\\ \vec b=(6,9,-5)\\ \vec c=(4,7,-3)\) lineárně nezávislé. Tvoří tyto vektory bázi lineárního prostoru \(R^3\)?
Pokud netvoří, doplňte systém vektorů na bázi \(R^3\) a zapište vektor \(\vec d=(2,1,3)\) jako lineární kombinaci vektorů báze.

2) Z daných vektorů vyberte bázi lineárního prostoru \(R^4\).
\(\vec u_1=(3,-3,2,-3)\\ \vec u_2=(2,6,4,2)\\ \vec u_3=(2,3,1,-2)\\ \vec u_4=(1,3,2,1)\\ \vec u_5=(2,0,1,-3)\)

3) Napište matici lineárního zobrazení \(L(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2x_1+x_2-2x_3-x_4, 3x_1+2x_2-7x_3-4x_4,-7x_1-3x_2+3x_3+x_4)\). Najděte jeho jádro a určete bázi a dimenzi jádra. Rozhodněte, zda je zobrazení \(L\) prosté.

4) Určete bázi a dimenzi lineárního prostonu \(\nu=\{\vec x\in R^4; A\vec x=\vec 0\}\), kde \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 4\\ -1 & 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -3 &1 \end{pmatrix}\).

5) Vyřeště maticovou rovnici \(AX=B+2X\), kde \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 3 & 4 & -5 \end{pmatrix}\) a \(B=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\)

6) Vyřeště maticovou rovnici \(XA=3X+B\), kde \(A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & -2 \\ -2 & -2 & 8 \end{pmatrix}\) a \(B=(1,-1,2)\).

7) Pomocí inverzní matice vyřešte soustavu rovnic \(2x+y+7z=1\\ 3x-4y+2z=-1\\ 0x+2y+3z=1\).