Greenova věta a potenciál

O kurzu

V první části kurzu nás čekají příklady na Greenovu větu. Můžete je najít ve zkoušce, a proto je dobrý vědět, jak takový příklady spočítat, jaký vzorce budeme potřebovat a jak vlastně tato věta funguje. Osvěžíme si parciální derivace a taky si zopakujeme dvojný integrály, který jsme dělali už dávno. Druhá část se věnuje konzervativnímu poli, kde se zaměříme hlavně na potenciál, kterej bývá u zkoušky fakt často. Tak hybaj, ať to umíte!

1. V první lekci se naučíme zcela novou věc, a tou je Greenova věta. Vysvětlíme si, jak funguje a naučíme se potřebné vzorečky a také si ukážeme první jednoduchý příklad, kde si nově naučené vzorce hned vyzkoušíme:

\(\oint_C (y-x^2)dx+(x+y^2)dy \, , C: x^2+y^2=1\)

2. V druhé lekci si vyzkoušíme další příklad na Greenovu větu, tentokrát však přes trojúhelník:

\(\oint_C \frac{dx}{y}-\frac{dy}{x} \, \) přes trojúhelník s vrcholy \( A [1,1], B[2,2], C[2,1]\)

3. Ve třetí lekci vyzkoušíme ještě složitější příklad na Greenovu větu, kde budeme muset použít polární souřadnice:

\(\oint_C \frac{1}{x}arctg\frac{y}{x}dx+\frac{2}{y}arctg\frac{x}{y}dy \, \) přes kladně orientovanou křivku \(C: 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \leq y \leq \sqrt{3}x\)

4. Ve čtvrté lekci se podíváme na poslední příklad na Greenovu větu, ve kterém budeme muset použít substituci do elipsy:

\(\oint_C (cosx+2e^{2x}y^2)dx+(\frac{sinx}{y}+2ye^{2x}+\frac{4}{3}x^3)dy \, \) přes kladně orientovanou křivku \(C: 4x^2+y^2 =4\)

5. V páté lekci se posuneme k úplně novému tématu a tím je konzervativní pole. Začneme teorií k prvnímu způsobu výpočtu, kdy lze použít rovnoběžky se souřadnicovými osami. Naučíme se jejich zápis a jaké máme očekávat derivace a meze.

6. V šesté lekci si spočítáme úvodní příklad na výpočet konzervativního pole pomocí rovnoběžek s osami:

\(\oint_C (3x^2y^2+y^2)dx+(2x^3y+2xy+1)dy \, \) z bodu A do bodu B, kde: \( A[1,-1], B[2,1]\)

7. V sedmé lekci nás čeká další teorie, a to výpočet konzervativního pole pomocí druhého způsobu, kterým je potenciál. Naučíme se, jak ověřit, že se skutečně jedná o potenciální pole a jak dále vypočítat samotný potenciál nejprve za pomocí integrace a následné derivace.

8. V osmé lekci si procvičíme právě získané vědomosti o potenciálu a budeme se snažit aplikovat vzorce z předchozí lekce:

\(\oint_C (3x^2y^2+y^2)dx+(2x^3y+2xy+1)dy \, \) z bodu A do bodu B, kde: \( A[1,-1], B[2,1]\)

9. V deváté lekci si procvičíme výpočet potenciálu na dalším příkladě:

\(\oint_C (\frac{y}{x}+y^2)dx+ (lnx+2xy)dy \, \) z bodu A do bodu B, kde: \( A[1,1], B[2,3]\)

10. V desáté lekci si ukážeme příklad, kde se bude počítat práce potenciálního pole, ale toho se nezalekneme, protože postup výpočtu bude stejný jako v předchozích lekcích:

\(W=?, F= (\frac{y^2}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}, 4y\sqrt{x}+lnx)\) z bodu A do bodu B, kde: \( A[1,2], B[4,-2]\)

11. V jedenácté lekci zůstaneme u výpočtu potenciálu, tentokrát nám tam však přibyde třetí proměnná z a všechno bude tak trochu komplikovanější:

\(\oint_C (2xy)dx+(x^2-z)dy + (1-y)dz \, \) z bodu A do bodu B, kde: \( A[1,0,0], B[2,-1,3]\)

12. Ve dvanácté lekci nás čeká poslední, ještě složitější příklad na výpočet potenciálu se třemi proměnnými:

\(W=?, F=(\frac{z}{x}+2xlny+ze^{xz}, \frac{x^2}{y}, lnx+xe^{xz}) \, \) z bodu A do bodu B, kde: \( A[1,3,0], B[1,1,1]\)