Homogenní diferenciální rovnice

O kurzu

V tomto úvodním kurzu si ukážeme, co to jsou diferenciální rovnice vyšších řádů. Naučíme se, jak spočítat základní homogenní diferenciální rovnice druhýho řádu, bez kterých se neobejdeš a pokud je neumíš, nemůžeš pokračovat v žádném dalším kurzu. Proto teď dávej velký pozor, ať pobereš, jak napsat řešení, když ti vyjdou z kvadratické rovnice dva kořeny, jeden dvojnásobnej kořen nebo dokonce imaginární kořeny. Je to důležité a v dalších lekcích se k tomu budeme pořád vracet!

1. V první lekci si vysvětíme, co znamená diferenciální rovnice vyššího řádu a jak podle zadání poznáme, kolik máme očekávat řešení. Ukážeme si, jak vyřešit homogenní rovnici druhého řádu a jak se od sebe liší výsledky, pokud nám vyjdou dva různé kořeny, jeden dvojnásobný kořen nebo imaginární kořeny.

2. V druhé lekci si spočítáme první tři úvodní příklady na homogenní diferenciální rovnici druhého řádu.

\(y´´+2y´-15y=0\)

\(y´´-12y´+36y=0\)

\(y´´+2y´+17y=0\)

3. Ve třetí lekci se zaměříme na homogenní diferenciální rovnice třetího řádu. Vysvětlíme si dva postupy, kterým se rovnice dají počítat a vyzkoušíme si je na těchto dvou příkladech:

\(y´´´-6y´´+13y´=0\)

\(y´´´-2y´´-y´+2y=0\)

4. Ve čtvrté lekci se naučíme novou věc, a to určovat, zda se jedná o fundamentální systém. Ukážeme si výpočet Wronského determinantu, který se k tomu váže a spočteme si následující příklad:

Tvoří řešení \(y_1=x^2, y_2=x^2+3x\) fundamentální systém rovnice \(y´´- \frac{2}{x}y´+\frac{2}{x^2}y=0\) ?

5. V páté lekci se pokusíme o výpočet složitějšího příkladu na fundamentální systém, který bude mít dokonce tři podotázky:

\(x^3y´´´-3x^2y´´ +6xy´-6y=0\)

A) Tvoří řešení \(y_1=2x, y_2=x^2, y_3=3x^3\) fundamentální systém?

B) Najdi fundamentální systém obsahující řešení \(y_1=x, y_2=x-x^2\)

C) Existuje fundamentální systém obsahující řešení \(y_1=x, y_2=2x\)?

6. V šesté lekci se zaměříme na další zvláštní typ příkladů, a to, když máme zadané řešení a hledáme homogenní diferenciální rovnici. Ukážeme si dva způsoby, kterými můžeme daný příklad vyřešit.

Najdi homogenní diferenciální rovnici druhého řádu, když znáš řešení \(y_1=e^x, y_2=e^{-2x}\)

7. V sedmé lekci si vyzkoušíme spočítat homogenní rovnici s počátečními podmínkami.

\(y´´ +y=0, y(\frac{\pi}{2})=1, y´(\frac{\pi}{2})=0\)

8. V osmé lekci si procvičíme ještě jeden příklad na počáteční podmínky. postup bude totožný, jen nám budou vycházet trošku zvláštní čísla.

\(y´´+4y´+4y=0, y(1)=0, y´(1)=-1\)