Křivkové integrály I. druhu

O kurzu

Příklady z tohoto kurzu tě velice pravděpodobně potkají ve zkoušce. Ať už to bude příklad na výpočet délky nebo hmotnosti křivky, na něco takového tam nejspíš narazíš. Proto se hned na začátku naučíme princip výpočtu křivkovýho integrálu a ukážeme si typový zadání příkladu, ať vždycky víš, kterou metodu výpočtu zvolit a jak dojít ke správnému výsledku. Není se čeho bát, je to sice zdlouhavý, ale poměrně jednoduchý.

1. V první lekci si vysvětlíme, co to jsou křivkové integrály, a hlavně jak je vypočítat. Ukážeme si 3 základní způsoby, jakými může být křivkový integrál zadaný a teoreticky se nachystáme na další lekce, kde budeme počítat konkrétní příklady.

2. V druhé lekci si vyzkoušíme první typ zadání příkladu, a to, když je křivka zadaná jako úsečka dvěma body:

\(\int_C xy \,\mathrm{d}s, C: A [1,0], B[0,1]\)

3. Ve třetí lekci vyzkoušíme druhý typ příkladu, kdy je křivka zadané pomocí ypsilonu:

\(\int_C 2-\sqrt{x} \,\mathrm{d}s, C: y=\frac{2}{3}(x-1), 1\leq x \leq 4\)

4. Ve čtvrté lekci se posuneme ke třetí mu typu příkladu, a to, když je křivka zadaná parametrizací:

\(\int_C \sqrt{2xy} \,\mathrm{d}s, C: \psi(t)=(t-sint, 1-cost), t\in \langle 0,2\pi \rangle\)

5. V páté lekci se podíváme na zvláštní typ příkladu, kdy si křivku budeme muset parametrizovat sami:

\(\int_C x^2y \,\mathrm{d}s, C: \) kratší oblouk kružnice \( x^2+y^2=4 \) s koncovými body: \(A [2,0], B[0,2]\)

6. V šesté lekci se naučíme spočítat délku křivky. Ukážeme si jednoduchý vzorec a hned vypočteme i úvodní příklad:

Spočti délku úsečky AB, kde: \(A [1,2], B[8,4]\)

7. V sedmé lekci nás čeká další příklad na výpočet délky křivky, tentokrát však zadané parametrizací:

\(s=?, C: \psi(t)=(6t, 6t^2, 4t^3), A[0,0,0], B[6,6,4]\)

8. V osmé lekci se posuneme k novému tématu a tím je výpočet obsahu válcové plochy. Naučíme se vzorec a vyzkoušíme první příklad:

\(P=?, x^2+y^2=1, 0\leq z \leq 2-x-y\)

9. V deváté lekci si procvičíme další příklad na výpočet obsahu válcové plochy:

\(P=?, y=\frac{1}{x}, 0\leq z \leq \frac{lnx}{y\sqrt{1+x^4}}\)

10. V desáté lekci si teoreticky popíšeme, jak vypočítat hmotnost a těžiště zadané křivky. Ukážeme si obě varianty, jak pro křivku v rovině, tak pro křivku v prostoru. 

11. V jedenácté lekci si procvičíme výpočet hmotnosti křivky, a to na tomto příkladu:

m=? asteroidy \(C: \psi(t)=(cos^3t, sin^3t), t\in \langle 0,2\pi \rangle, h= \sqrt[3]{xy}\)

12. Ve dvanácté lekci si vyzkoušíme jeden příklad na těžiště křivky:

T=? čtvrtkružnice v I. kvadrantu o poloměru \(r=1\) s hustotou \(h=y\)