Nehomogenní rovnice - s podmínkami

O kurzu

Tenhle kurz nás provede řešením veškerých podmínek, ať už počátečních či okrajových. Zjistíme, jaký je v nich rozdíl a že u okrajových může docházet k divným výsledkům jako třeba 0=5. Co s tím a jaký z toho učinit závěry si ukážeme v tomto kurzu. V zápočtu se tyto typy příkladů objevují poměrně často, tak šup do toho, ať jsi připraven!

1. V první lekci si vysvětlíme rozdíl mezi počátečními a okrajovými podmínkami. Také si napíšeme polopatický postup, jak krok za krokem spočítat nehomogenní rovnici s podmínkami. Tenhle postup pak budeme využívat v dalších lekcích k počítání příkladů.

2. V druhé lekci si spočítáme příklad s počátečními podmínkami. Uvidíme, že to není zas až tak složité, i když to bude trochu zdlouhavější:

\(y´´-y=2x, y(1)=2, y´(1)=2\)

3. Ve třetí lekci se podíváme na první příklad s okrajovými podmínkami. Po výpočtu zjistíme, že úloha bude mít jedno řešení, což je ta nejlepší varianta, která nám může vyjít:

\(u´´+4u=3cosx+6sinx, u(0)=0, u(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

4. Ve čtvrté lekci se mrkneme na další zajímavý příklad s okrajovými podmínkami, kdy nám tentokrát vyjde, že úloha nemá žádné řešení:

\(u´´+u=4sinx, u(0)=0, u(\pi)=0\)

5. V páté lekci se zaměříme na poslední typ okrajové úlohy, a to, když je výsledkem nekonečně mnoho řešení. jaký to bude mít efekt na tvar výsledku si ukážeme na tomto příkladě:

\(u´´+4u=3sinx, u(0)=0, u(\pi)=0\)

6. V šesté lekci se vrátíme k teorii a shrneme si poslední tři vypočítané příklady s tím, jak poznat, zda má příklad jedno, žádné, nebo dokonce nekonečně mnoho řešení. Taky si ukážeme teoretický postup, jak vypočítat obdobnou úlohu s tím, že tam bude ještě navíc zamotaný parametr.

7. V sedmé lekci si zkusíme vypočítat okrajovou úlohu obsahující v podmínce parametr. Jak se změní výsledek i celý postup výpočtu si ukážeme na tomto příkladu:

\(u´´+4u=10sin3x, u(0)=1, u(\frac{\pi}{2})=a\)