Aplikace derivace I

O kurzu

1. V první lekci si načrtneme obrázek grafu funkce a k ní nakreslíme tečnu procházející bodem T. Naučíme se, jak vypadá rovnice tečny a jak přijít na její parametry k a q. Rovněž si vysvětlíme, jak u takovýchto příkladů využít derivování a jak díky němu nalezneme směrnici tečny. Vypočteme si následující zadání:

• Tečnu k funkci: \(f(x)=\frac{12}{x}\)  v bodě \(T [3,4]\)
• Tečnu k funkci: \(f(x)=\frac{3x-4}{2x-3}\)  v bodě \(T [2,?]\)
• Tečnu k funkci: \(f(x)=arctgx\)  v bodě \(T [-1,?]\)

2. V druhé lekci se naučíme napsat rovnici normály ke grafu zadané funkce. Situaci si taktéž ukážeme na načrtnutém obrázku. Začátek příkladu bude stejný jako u tečny, následovně však použijeme ještě jeden malý vzorec navíc. Postup si ukážeme na těchto příkladech:

• Normálu k funkci: \(f(x)=x^2-3x-1\)  v bodě \(T [2,-3]\)
• Normálu k funkci: \(f(x)=ln(x+1)\)  v bodě \(T [0,?]\)
• Normálu k funkci: \(f(x)=arccos3x\)  v bodě \(T \) - průsečíkem grafu s osou y
• Normálu k funkci: \(y^2=9-x\)  v bodě \(T [?,-3]\)

3. Ve třetí lekci se budeme zabývat tečnami, které jsou rovnoběžné se zadanou přímkou. Celou situaci si pro obraznost načrtneme do grafu. Ukážeme si jednoduchý postup, jak takovéto příklady vyřešit:

• Tečnu k funkci: \(f(x)=x^2+3x-5\)  která je rovnoběžná s přímkou \(p: 3x+y=0\)
• Tečnu k funkci: \(xy=8\)  která je rovnoběžná s přímkou \(p: 2x+y-3=0\)
• Tečnu k funkci: \(f(x)=x^3-12x\)  která je rovnoběžná s přímkou \(p: y=3\)
• Tečnu k funkci: \(f(x)=\sqrt[5]{4-x^2}\)  která je rovnoběžná s přímkou \(p: x=0\)

4. Ve čtvrté lekci si ukážeme tečnu a normálu, které jsou kolmé k zadané přímce. Opět si pro názornost nakreslíme obrázek a pak se naučíme postup, jak úlohy tohoto typu vyřešit:

• Tečnu k funkci: \(f(x)=x^2-3x+2\)  která je kolmá k přímce  \(p: x+3y-15=0\)
• Tečnu k funkci: \(f(x)=ln(x^2+1)\)  která je kolmá k přímce  \(p: 5x+3y+2=0\)
• Normálu k funkci: \(f(x)=x^2\)  která je kolmá k přímce  \(p: y-4x-1=0\)

5. V páté lekci si ukážeme mírně opomíjený vzorec pro odchylku dvou křivek. Ve škole se moc často neprobírá, avšak v zápočtovém testu se objevit může. Pojďme si spočítat následující příklady:

• Odchylku dvou křivek: \(f_1(x)=sinx\)  a  \(f_2(x)=cosx\)
• Pod jakým úhlem protne funkce: \(f_1(x)=lnx\)  osu x
• Pod jakým úhlem protne funkce: \(f_1(x)=\sqrt[3]{x+1}\)  osu x