Aplikace derivace III

O kurzu

1. V první lekci si vysvětlíme L´Hospitalovo pravidlo. Povíme si, za jakých okolností lze toto pravidlo využít a v čem spočívá a budeme také znovu derivovat a počítat limity. Začneme s jednoduššími příklady:

\(\lim_{x \to 1} \frac{x^3+5x-7-3}{x^3-2x^2-x}\)

\(\lim_{x \to 1} \frac{x^3-5x^2+7x-3}{x^3-2x^2+x}\)

\(\lim_{x \to 1} \frac{ln^2x}{x^3-x^2-x+1}\)

\(\lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{(x-\pi)^2}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{arctgx-x}{arcsinx-x}\)

2. V druhé lekci budeme pokračovat v aplikaci L´Hospitalova pravidla, tentokrát však budeme mít zadané složitější příklady:

\(\lim_{x \to \pi} \frac{cosx+1}{sin^4x}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{sinx+1}{sinx}\)

\(\lim_{x \to \pi} (\pi-x)tg\frac{x}{2}\)

\(\lim_{x \to 0} x^2 e^\frac{1}{x2}\)

\(\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx})\)

3. Ve třetí lekci bude hlavním tématem Taylorův polynom. Nejprve si vysvětlíme, které parametry musí být zadané a co znamenají a poté se naučíme vzorec pro zápis Taylorova polynomu. Zopakujeme si pojem faktoriál a spočítáme si úvodní příklady:

\(T_{2}(x), f(x)=x^3, c=1\)

\(T_{3}(x), f(x)=arctgx, c=0\)

\(T_{4}(x), f(x)=lnx, c=3\)

4. Ve čtvrté lekci budeme pokračovat v řešení Taylorova polynomu, tentokrát se ale zaměříme na  zvláštně zadané příklady:

\(f(x)=x^3-3x^2+5\) zapiš pomocí výrazů \((x-1)\)

Také si ukážeme, k čemu se dá Taylorov polynom použít v praxi:

• Urči hodnotu výrazu \( \sqrt{5}\)

5. V páté lekci se naučíme řešit zajímavé slovní úlohy pomocí derivací:

• Délka a strany rovnostranného trojúhelníka se mění rychlostí v. Obvod se mění rychlostí ...
• Závislost dráhy na čase je dána vztahem \(s=3t-t^3\). Zrychlení v čase 2 sekundy je rovno ...