Limita posloupnosti

O kurzu

1. V první lekci si vysvětlíme, jak pracovat s nekonečnem. Ukážeme si, jaké výsledky dostaneme, když k nekonečnu přičteme či odečteme nějaké číslo, když nekonečno vynásobíme nebo vydělíme nějakým číslem či když nekonečno umocníme. Také si popíšeme výrazy, které nejsou definované.

2. V druhé lekci si probereme limity u jednoduchých polynomů a zlomků. Spočítáme tyto příklady:

\(\lim_{n \to \infty} \ (n^3 + 5n-1)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (n^3 - 5n-1)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (6n-4n^2)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ ((n+100)^{1999} -n^{2003})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{n^3-5n+5}{3n^3+2n^2+7})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{n^2-5n-3}{4n^3+2n^2})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{n^5-7n^3}{2n^2+2n-1})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{7n^6+2}{3-4n^3-2n^5})\)

3. Ve třetí lekci budeme pokračovat v limitách posloupností u zlomků, které budou ale o něco složitější než v předchozí lekci. Budeme je tedy muset nejprve upravit a pak až spočítat jejich limitu:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(1+3n^2)^3-3n^5}{(7+2n)^6})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(n+2)^3-n^2(n+6)}{n+100})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{100n^{99}+ 99n^{98}}{(n^{50}+1)^2})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{\sqrt[5]{n^4} (n+2)}{1-\sqrt{n}-n\sqrt[4]{n^3}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{3n^2-\sqrt[3]{n^5+2}}{\sqrt{n^4-3n^2+1}+5n})\)

4. Ve čtvrté lekci probereme limity, které obsahují exponenciální posloupnosti a také si ukážeme speciální limity typu -1 na ntou:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{6^n+4^n+2^n}{6^{n+1}-3^n})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{5^n-2^n}{7^n+3^n+1})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{3^{2(n+1)}-9^n}{2^{3(n+1)}+8^{n+9}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(-1)^n+2}{(-1)^n-2})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(-1)^n+2}{(-1)^n-2}n)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (n+(-1)^n n^2)\)

5. V páté lekci si ukážeme limity typu nekonečno minus nekonečno, které budeme řešit usměrněním výrazu:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{n^4-n^3}-\sqrt{n^4+2n^3})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{1}{\sqrt{n+1000}-\sqrt{n+100}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{3n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}))\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{n^4+2n-1}-3n)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{9n^2+n-4}-3n)\)

6. V šesté lekci si na závěr ukážeme příklady, které v sobě obsahují součet posloupnosti, ať už aritmetické či geometrické. Naučíme se vzorce, které nám pomohou tento typ příkladů vyřešit:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{1+2+3+.....+n}{\sqrt{16n^4+1}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+.....+\frac{1}{3}^n}{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+.....+\frac{1}{4}^n})\)