Lineární algebra I

O kurzu

1. V první lekci si probereme stěžejní teorii k celé lineární algebře. Naučíme se, kde je v matici hlavní diagonála a jak matici upravit pomocí tzv. Gaussovy eliminace. Také si vysvětlíme pravidla, jak se do matice jednotlivé vektory zapisují a jaké operace s vektory můžeme provádět. Gaussovu eliminaci si vyzkoušíme na tomto příkladu:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 7 \\ -3 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix}\)

Poté si vysvětlíme dva důležité pojmy - lineární závislost a lineární nezávislost a naučíme se určovat, jak poznat, zda jsou vektory lineárně závislé či nikoli.

2. V druhé lekci si procvičíme na příkladech určování lineární závislosti a nezávislosti. Vyzkoušíme si to na těchto maticích:

\( \begin{pmatrix} 4 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 14 & 18 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -3& 2 & 1 & 4\\ 3 & -1 & 3 & 2\\ \end{pmatrix}\)

Také si ukážeme, jak zjistit lineární závislost či nezávislost vzhledem k libovolnému parametru a:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & a \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} a & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & -2a \\ \end{pmatrix}\)

3. Ve třetí lekci si vysvětlíme pojem báze. Budeme určovat, zda se jedná či nejedná o bázi vektorů, to vše na těchto příkladech:

\( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix}\)

Opět si vyzkoušíme příklad s parametrem a, kde bude naším úkolem určit, pro které hodnoty parametru a budou zadané vektory tvořit bázi vektorového prostoru:

\( \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & a-3 & 0 \\ -1 & 3-a & a+2 \\ \end{pmatrix}\)

Ukážeme si také zvláštní příklad, v němž je podstatou najít vektor, který je nutné doplnit, aby ze zadaných vektorů vznikla báze:

\(<(1,0,2), (1,2,4), (3,4,-6)>\)

4. Ve čtvrté lekci budeme probírat pojem hodnost. Budeme určovat hodnosti následujících matic:

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 5 & 11 & -3 \\ 4 & 7 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & -8 \\ 3 & 7 & -2 & -1 \\ 10 & 22 & 8 & -18 \\ \end{pmatrix}\)

Rovněž si ukážeme i příklad s parametrem, kdy nyní bude otázkou, jaká je hodnost matice v závislosti na parametru a:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -a & a \\ 2 & -2 & a^2+1 \\ \end{pmatrix}\)