Matice I

O kurzu

1. V první lekci si vysvětlíme teorii k maticím. Řekneme si, jak zaznačit, kolik má matice řádků a sloupců a co to znamená, když je matice čtvercová. Také si ukážeme, jak vytvořit matici transponovanou a jak vypadá a jak se značí matice jednotková.

2. V druhé lekci si probereme základní operace s maticemi, což jsou násobení či dělení konstantou, sčítání a odčítání matic, násobení a dělení matic a v neposlední řadě umocňování matic. Všechny tyto operace si ukážeme na následujících příkladech:

\(X=3A\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix}\)

\(X= \frac{B}{2}\) kde: \(B = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -2 & -6 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A+B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -1 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=C-D\) kde: \(C = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ -2 & 0 \\ \end{pmatrix}\)a \(D = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A*B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ -2 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 2& 1 \\ 4 & -3 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A^2\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

3. Ve třetí lekci si pořádně započítáme. Ukážeme si několik příkladů, kde využijeme znalosti z lekcí 1 a 2. Natrénujeme si operace s maticemi a zkombinujeme několik pravidel dohromady. Příklady budou následující:

\(2A^T-3X=B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 2& 1 \\ -3& 0 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\ 0 & 5 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A*B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ -2& 1 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4\\ -2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

\(Y=B*A\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ -2& 1 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4\\ -2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A^3-3A^2+2A-E\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

4. Ve čtvrté lekci začneme probírat determinanty. Vysvětlíme si, co vůbec slovo determinant znamená a na jednoduchých malých (2,2) maticích si ukážeme základní princip výpočtu:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}\) detA=?

\(B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \\ \end{pmatrix}\) detB=?

Budeme pokračovat s výpočty u větších matic (3,3), kde už je nutné použít Sarrusovo pravidlo. Toto pravidlo si ukážeme na těcto příkladech:

\(A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 3 \\1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\)detA=?

\(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1 \\3 & 4 & -5 \\ \end{pmatrix}\)detB=?

Také si ukážeme, jak postupovat, když se v determinantu objeví parametr a. Ukážeme si, jak pomocí determinantu určit lineární závislost a nezávislost vektorů v matici. Příklad bude takovýto:

Pro které a budou vektory lineárně závislé? \(A = \begin{pmatrix} a & 2 & -4\\ 2 & 1 & 4 \\2 & 1 & -2a \\ \end{pmatrix}\)

5. V páté lekci se budeme opět věnovat determinantům, tentokrát ale u největších matic (4,4), kde je nutné použít rozvoj podle řádku či sloupce. Tento složitý postup si ukážeme na tomto příkladu:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3& 3\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\3 & 2 & 7 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)detA=?