Aplikace integrace III

O kurzu

V posledním kurzu na použití integrace se naučíme, jak vypočítat těžiště křivočarého obrazce a délku ledajaké křivky. Začneme těžištěm, které sice není úplně nejsložitější, ale zato je pekelně zdlouhavé, takže většina studentů se modlí, aby to na ně v zápočtu nevyšlo. Já vám ukážu, jak nám pozorné přečtení si zadání může ušetřit spoustu času a zbytečného počítání. Musíme se totiž soustředit, kterou že souřadnici máme počítat. Pak se přesuneme k výpočtu délky křivky, kde už nikdy nebudeme muset kreslit žádný graf, což vás určitě potěší.

Ukážeme si dva typy příkladů, jeden jednodušší, kde budeme moci rovnou odmocňovat a druhý složitější, kde je nutné použít vzorec \((a+b)^2\). Naučím vás dokonce i takovou zkratku, jak vzoreček šalamounsky obejít a téměř hned na prvním řádku napsat výsledek. Tak hurá do toho, příklady čekají!

1. V první lekci si ukážeme další věc, na kterou se dá integrování použít, a to je výpočet těžiště libovolného obrazce. Na obrázku si vysvětlíme princip výpočtu a v oficiálním taháku si najdeme vzorce pro výpočet hmotnosti a statických momentů k jednotlivým osám, z čehož pak prostým vydělením vzniknou obě souřadnice těžiště.

2. V druhé lekci se už podíváme na první zahřívací příklad na těžiště. Budeme si muset načrtnout jednotlivé křivky a pak dosadit do vzorců z oficiálního taháku.

\(y= \sqrt{1-2x}+4, y=4, x=0\)

3. V třetí lekci si spočteme další příklad na těžiště, který je tentokrát zadaný zajímavou nerovnicí. Poznáte, co za kuželosečku se pod první nerovnicí skrývá? Jak byste ji nakreslili?

\(\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}\leq 1,y \geq 0\)

4. Ve čtvrté lekci se vrátíme k našim klasickým nerovnicím a ze zkušenosti už víme, že v tomto případě nebude nutné kreslit obrázek. O to horší a zdlouhavější ale bude výpočet. Tak se do toho pojďme pustit.

\(0 \leq y\leq cos^23x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\)

5. V páté lekci se přesuneme k úplně jinému tématu, a tím je výpočet délky křivky. V této lekci si opět vysvětlíme princip, ukážeme si daný vzoreček v oficiálním taháku a zaradujeme se, že v těchto případech už nikdy nebude nutné kreslit grafy funkcí!

6. V šesté lekci si tedy ukážeme první příklad na výpočet délky křivky. Dostaneme zadanou křivku a interval, který nám udává, kde křivka začíná a končí, čímž máme hned zajištěné meze do integrálu.

\(y=ln(cosx), x\in\langle 0,\frac{\pi}{6} \rangle\)

7. V sedmé lekci si vypočítáme podobný příklad, kdy se opět budeme snažit výraz pod odmocninou převést na společný jmenovatel a poté tento výraz odmocnit. Uvidíme, jak nám to tentokrát vyjde.

\(y=ln\sqrt{sin2x}, x\in\langle \frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4} \rangle\)

8. V osmé lekci se těšte na velmi zajímavý trik, který vám ukážu. Jedná se o použití jednoduchého vzorce, který všichni známe ze střední a vy musíte přijít na to, že právě v těchto typech příkladů jej musíte použít. Je to záludné, ale ve výsledku se vám tento trik bude určitě líbit.

\(y= e^{2x}+ \frac{1}{16}e^{-2x}, x\in\langle 0,2 \rangle\)

9. V deváté lekci si zopakujeme použití onoho vzorce na dalším příkladu. Já jej samozřejmě celý rozepíšu, ale jak jsme si řekli v předchozí lekci, je možné použít takovou tu zajímavou zkratku. Nechám to na vás, počítejte, jak umíte.

\(y= \frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}lnx, x\in\langle 1,e^2 \rangle\)