Integrace - per partes

O kurzu

V tomhle kurzu se budeme zabývat metodou per partes. Určitě už jste o tom ve škole slyšeli a možná vám přišlo nepochopitelné, co se s čím násobí, jak se to od sebe odčítá a čím to, že se tam vždycky nějak změní znaménko. Tak toho už se nemusíte bát, protože vám ukážu, jak v příkladech správně používat závorky, abychom ta záludná znaménka zase nepopletli. Co se totiž často děje, je to, že pak v odpovědích u zápočtového testu naleznete i tu vaši odpověď se špatným znaménkem a v dobré víře ji zaškrtnete. Ten, kdo ten test sestavoval totiž s těmito chybami počítal. Pojďme se tedy vrhnout na příklady a dokažme u testu, že se jen tak nenecháme nachytat mylnou odpovědí!

1. V první lekci si řekneme, kdy se tato metoda používá a jak poznat ze zadání příkladu, že se má počítat pomocí per partes. Také si ukážeme, jak zvolit funkce do tabulky a co s čím vynásobit, aby nám vyšel správný výsledek.

2. V druhé lekci se podíváme na dva úvodní příklady, na kterých si vyzkoušíme postup výpočtu při metodě per partes, který jsme se naučili v předchozí lekci. 

\(\int x.cosx dx\)

\(\int sinx.(3x-5) dx\)

3. V třetí lekci si vyzkoušíme příklad, při kterém je nutné použít metodu per partes dokonce dvakrát za sebou. Bude to zdlouhavé, ale zvládneme to!

\(\int (x^2+x)e^x dx\)

4. Ve čtvrté lekci nás čeká ještě horší příklad, a to takový, že budeme muset použít metodu per partes dokonce třikrát. Jak na to a jak se vyvarovat nejčastějších chyb si ukážeme na příkladu:

\(\int (x^3+3)sinx dx\)

5. V páté lekci si probereme opravdu zvláštní příklad, kdy se pomocí metody per partes vrátíme zpět k zadání. Ani to nás ale nemůže zaskočit, protože si ukážeme, jak z takového příkladu vybruslit.

\(\int e^xcos3x dx\)

6. V šesté lekci začneme metodu per partes používat v případech, kdy se v zadání objeví nějaká z cyklometrických funkcí - arcus. Co vybrat k derivování a co k integrování si ukážeme na následujícím příkladu:

\(\int x.arctgx dx\)

7. V sedmé lekci budeme pokračovat ve výpočtu integrálů obsahujících funkci arcus. Příklad bude opět o něco náročnější, ale se znalostmi z minulé lekce ho hravě zvládneme.

\(\int x^3.arctgx dx\)

8. V osmé lekci se pokusíme vyjasnit rozdíl mezi funkcí složenou a součinem dvou funkcí, neboli, jestli je v zadání pouze jedna funkce, nebo funkce dvě. Podobná zadání, avšak rozdílný počet funkcí si ukážeme na mnoha příkladech, z nich vybrané dva jsou:

\(\int cos(3x+5) dx\)

\(\int (3x+5)cosx dx\)

9. V deváté lekci si předvedeme trik, kdy je v zadání pouze jedna funkce, ale my do tabulky per partes potřebujeme funkce dvě. jak tuto zapeklitou situaci vyřešit si vysvětlíme na tomto příkladu:

\(\int arcsin(\frac{3}{x}) dx\)

10. V desáté lekci se přesvědčíme o tom, že metoda per partes lze používat i pro logaritmy. Jak umístit funkce do tabulky, neboli co integrovat a co derivovat, si ukážeme na příkladu:

\(\int (2x-1)logx dx\)

11. V jedenácté lekci si naznačíme, co dělat, když v zadání místo součinu funkcí dostaneme jejich podíl. Není to složité, jen musíte vědět, jak nato. A přesně to si vysvětlíme v tomto příkladu:

\(\int (\frac{lnx}{x})^2 dx\)

12. Ve dvanácté lekci si zopakujeme co dělat, když v zadání chybí druhá funkce. Tentokrát se tak stane u zadání, které obsahuje přirozený logaritmus:

\(\int ln(4-x^2) dx\)