Integrace - speciální substituce

O kurzu

Zatím asi nejnáročnější kurz, který jsme tu měli. Budeme opět potřebovat náš oficiální tahák a tentokrát budeme používat jeho část C. Jsou to už opravdu náročné a složité příklady a jak s oblibou říkám, když už nebude fungovat žádná z metod, co jsme se naučili doposud, až po tom, co budou všechny vaše možnosti vyčerpány, až pak se tedy dejte cestou speciální substituce. Jsou to hodně složité příklady a v zápočtovém testu se objevují s poměrně nízkou pravděpodobností. Zato se ale velmi často objevují u zkoušky, tam už se tomu nejspíš nevyhnete. Podívejte se tedy na videa, ať víte, co vás tam při integrování ještě může potkat.

1. V první lekci si ukážeme příklad, na který je nutné použít oficiální tahák a jeho část C, konkrétně hned první řádek. Tam totiž nalezneme nápovědu k substituci pro tento případ:

\(\int \frac{1}{x^3}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}} dx\)

2. V druhé lekci se nám forma příkladu trošku obmění, ale pořád budeme používat první řádek v oficiálním taháku v části C. Už budeme mnohem zkušenější a snad se nám povede vyřešit i tento příklad:

\(\int \frac{1}{1+\sqrt{x+1}} dx\)

3. V třetí lekci bude příklad opět zaměřen na odmocninu z podílu lineárních funkcí stejně jako dva předchozí příklady. Navrhuji si zkusit příklad vypočítat samostatně a správný výsledek ověřit ve videu.

\(\int \sqrt{\frac{x+2}{x-2}} \frac{1}{x} dx\)

4. Ve čtvrté lekci se v oficiálním taháku posuneme zase o kousek dál, tentokrát k odmocnině z kvadratické funkce. Všimněte si, že v části C oficiálního taháku jsou odmocniny z kvadratické funkce dokonce dvě. Kterou z nich použijeme pro tento příklad?

\(\int \sqrt{9-x^2} dx\)

5. V páté lekci si opět potrénujeme odmocninu z kvadratické funkce. Z předešlého příkladu už jsme nasbírali zkušenosti, tak se pojďme pustit do dalšího, o trošku složitějšího příkladu:

\(\int \frac{x^4}{(\sqrt{1-x^2})^3} dx\)

6. V šesté lekci ještě zůstaneme u odmocniny z kvadratické funkce a tentokrát ještě bude nutné udělat rozklad na čtverec. Opravdu těžký příklad, kterým už všechny odmocniny opustíme.

\(\int \frac{1}{(x+1)^2\sqrt{x^2+2x+2}} dx\)

7. V sedmé lekci se posuneme do závěrečné části oficiálního taháku, a to do sekce s goniometrickými funkcemi. Zadání příkladu by tedy mělo obsahovat jednu z funkcí sinx nebo cosx. A je tomu tak i v nadcházejícím příkladě, kde budeme substituovat za tg(x/2):

\(\int \frac{1}{3cosx+1} dx\)

8. V osmé lekci si vyzkoušíme další příklad s goniometrickými funkcemi, tentokrát budeme substituovat za tgx. Pojďme se podívat, jaké záludnosti nás při tom čekají:

\(\int \frac{1}{1+sin^2x} dx\)

9. V deváté lekci se podíváme rovnou na dva příklady, které už nejsou tak složité a jsou si nějakým způsobem podobné. Pořád se jedná o goniometrické funkce:

\(\int sin^3x dx\)

\(\int cotg^3x dx\)

10. V desáté lekci, která je už poslední, se podíváme na závěrečné dva příklady, kde budeme opět muset substituovat za sinx nebo cosx. Ukážeme si také trik s rozšiřováním, který se v testech často objevuje.

\(\int \frac{1}{sinx} dx\)

\(\int \frac{sinx.cosx}{1+sin^4x} dx\)