Integrace - základní I

O kurzu

Tenhle kurz je nezbytný, pokud chceš pochopit základy integrálů. Občas se mi stane, že studenti chtějí hned vysvětlovat substituci a nerozumí úplným základům. V těchhle základních věcech fakt člověk nesmí dělat chyby, jinak se nikdy nebude moct posunout dál. Není to žádná raketová věda, fakt nic složitého, ale je potřeba mít jistotu, že vám to opravdu jde! Takže integrály ... tři, dva, jedna .... začínáme!

1. V první lekci si vysvětlíme, co to vlastně integrál je a ukážeme si první základní příklady:

\(\int x^2 dx\)

\(\int x^7 dx\)

2. V druhé lekci se naučíme základní vzorce pro integraci - tzv. tabulkové integrály. Tyto vzorce bude nutné si zapamatovat, abychom mohli počítát všechny další příklady v několika následujících kurzech.

3. V třetí lekci si zopakujeme počítání s mocninami a odmocninami, na které využijeme hned první vzorec z předchozí lekce. Vyzkoušíme si tyto příklady:

\(\int x^4 dx\)

\(\int x^{-2} dx\)

\(\int x^{1/3} dx\)

\(\int \frac{1}{x^{5}} dx\)

\(\int \sqrt[3]{x^4} dx\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)

4. Ve čtvrté lekci se naučíme 3 pravidla pro počítání s integrály, a to součet funkcí, rozdíl funkcí a násobení funkce konstantou. Princip si vysvětlíme na následujících příkladech:

\(\int x^2 + x^3 dx\)

\(\int x^{-3} - x^6 dx\)

\(\int 5x^4 dx\)

5. V páté lekci si vyzkoušíme vše, co jsme se doposud o integrálech naučili. Bude to tréninková lekce, kde si vypočítáme mnoho příkladů, jako například:

\(\int \frac{7}{x^{2}} dx\)

\(\int 5sinx - 3x dx\)

\(\int 6e^x + 2cosx dx\)

\(\int \frac{3}{x} + 15\sqrt{x} dx\)

\(\int \frac{1}{cos^{2}x} + \frac{5}{x^{6}} -2 dx\)

6. V šesté lekci si probereme další novou věc, a to tzv. "trhání" zlomků. Pokusíme se velký zlomek "natrhat" na několik malých. Fintu si ukážeme na těchto příkladech:

\(\int \frac{x^{3} +6x^{2} -12x +3}{x} dx\)

\(\int \frac{(x+3)^{2}}{x^2} dx\)

\(\int \frac{\sqrt[3]{x} -5^{x}.x^{4} +x}{x^4} dx\)

7. V sedmé lekci si ukážeme příklady na dělení zlomků. Vysvětlíme si, kdy dělení použít a jak postupovat, když je zlomek vydělený. Cvičit budeme na takovýchto příkladech:

\(\int \frac{x^{4} +2x^{3} -3x^2}{x-1} dx\)

\(\int 2\frac{x^{2}}{x^{2}-1} dx\)

8. V osmé lekci si osvěžíme dělení zlomků beze zbytku a se zbytkem. Je to taková vložená, opakovací lekce, takže kdo dělit umí, tuto lekci klidně může přeskočit. Dělení si zopakujeme na těchto příkladech:

\((2x^4 - 3x^3 +x^2 -3x -1) : (x^2 +1)=\)

\((x^3 - 5x^2 +5x -2) : (x-4)=\)

9. V deváté lekci se podíváme na goniometrické vzorce, které je nutno se naučit a také umět použít. Jejich využití si ukážeme na příkladech tohoto typu:

\(\int \frac{sin2x}{cosx} dx\)

\(\int \frac{1}{cos2x + sin^2x} dx\)

\(\int tg^2x dx\)

\(\int \frac{1}{sin^2x .cos^2x} dx\)