Tečna, tečná rovina a normála

O kurzu

Máme před sebou hodně dlouhý a taky hodně důležitý kurz. Vysvětlíme si v něm princip výpočtu tečny a normály u funkcí dvou proměnných a také výpočet tečné roviny a normály u funkcí tří proměnných.

Jedná se o poměrně složitou látku, která se s velkou pravděpodobností objeví v zápočtu. Některé složitější úlohy, kdy se do příkladů začíná zamotávat rovnoběžnost nebo kolmost, se dost často vyskytují i ve zkoušce. Takže to máte takové dva v jednom. Stačí, když si kurz pořádně projedete a budete tak připraveni nejen k zápočtu, ale rovnou i ke zkoušce. Pojďme se do toho pustit, máme co dělat!

1. V první lekci si probereme princip výpočtu tečny a normály pro funkci dvou proměnných. Ukážeme si vzorce pro napsání tečny - přímky a osvěžíme si, jak udělat kolmý vektor, který bude potřeba k napsání rovnice normály. 

2. V druhé lekci se podíváme na první příklad, kdy budeme muset zjistit rovnici tečny a normály k zadané funkci v jejím bodě T. Vyzkoušíme si tedy aplikovat vzorce z předchozí lekce.

\((x^2+y^2)(y-1)^2-5y^2=0, T[4,2]\)

3. V třetí lekci si vypočítáme další příklad na určení tečny a normály k zadané funkci. Nyní musíme dát pozor na to, zda je funkce zadaná implicitně a případně její zápis upravit.

\(xy=1-lny, T[1,1]\)

4. Ve čtvrté lekci se začneme zabývat složitějšími příklady, kdy už nebudeme mít zadaný bod T, ale budeme mít podmínku, že hledaná tečna má být rovnoběžná se zadanou přímkou p.

\(x^2+y^2+6x-2y+5=0, p: y=3-2x\)

5. V páté lekci si vyzkoušíme, jak se dá najít tečna k zadané funkci, která je tentokrát kolmá k dané přímce p.

\(3y+arcsiny-2x+6=0, p: y=-2x\)

6. V šesté lekci si vysvětlíme princip výpočtu tečné roviny a normály pro funkce tří proměnných. Postup při sepsání rovnice tečné roviny bude téměř identický jako u tečny, ale pozor, rovnice normály bude v těchto příkladech vypadat úplně jinak. 

7. V sedmé lekci si tedy zkusíme vypočítat tečnou rovinu a normálu k zadané funkci. Budeme mít zadaný i tečný bod T a uvidíme, že tento typ příkladu není vůbec složitý.

\(x+y^2+z^2-18=0, T[5,-3,-2]\)

8. V osmé lekci si opět spočteme tečnou rovinu a normálu k zadané funkci. Budeme si ale muset dávat pozor na to, zda je funkce zadaná implicitně a také bude menší potíž s bodem T, kterému chybí jedna ze souřadnic.

\(z=arctg\frac{x}{y}, T[1,1,?]\)

9. V deváté lekci už půjde do tuhého. naším úkolem bude najít tečnou rovinu k zadané ploše, kdy tečná rovina má být rovnoběžná se zadanou rovinou \(\sigma\).

\(x^2+2y^2+3z^2-4xz-32=0, \sigma : x+4y-3z=0\)

10. V desáté lekci si ukážeme ještě jeden příklad na rovnoběžnost. Nyní budeme muset najít tečnou rovinu k zadané ploše, kdy tečná rovina má být rovnoběžná s rovinou \(\sigma\), která je dána krátko, ale zákeřnou rovnicí.

\(x^2+2y^2+3z^2+2xy + 2xz+4yz=8, \sigma : x=0\)

11. V jedenácté lekci si ukážeme příklad na kolmost. Úkolem bude najít tečnou rovinu k zadané ploše, kdy tečná rovina má být kolmá k zadané přímce p.

\(x^2-2y^2-z^2+ xz+4y+5=0, p : [0,4,5]+(0,4,5)t\)