Příprava na první zápočtový test

O kurzu

V dnešním kurzu si spočítáme příklady podobné těm, které by nás mohli potkat v prvním zápočtovém testu.

U následujících příkladů se přikládá váha jak obecnému tak i číselnému řešení.

1) Poloha tělesa v čase je popsána pohybovými funkcemi \(x = 7t\), \(y=-3t^2+4t+3\), \(z=0\). Souřadnice jsou dány v metrech a čas v sekundách. 

1.1 Určete polohový vektor \(\vec r(t)\) v čase \(t=1\:s\).
1.2 Určete velikost rychlosti v čase \(t=1\:s\).
1.3 Určete y-ovou složku zrychlení a slovně označte typ pohybu tělesa.
Příklady navíc:
1.4 Do roviny \(xy\) nakreslete polohový vektor v čase \(t=0\:s\) a \(t=1\:s\).
1.5 Do roviny \(xy\) nakreslete vektor rychlosti v čase \(t=1\:s\)
1.6 Nakreslete závislost x-ové a y-ové složky rychlosti na čase.

2) Mimozemská raketa pohybující se svisle vzhůru rychlostí \(v=5.10^3\:m/s\) se v čase rozpadne na dvě části A a B. Část A se odkloní od svislého směru doprava o úhel \(\alpha=60°\) a pohybuje se rychlostí \(v_A=8.10^3\:m/s\). Část B se od svislého směru odchýlí doleva o úhel \(\beta\) a letí rychlostí \(v_B=7.10^3\:m/s\). Hmotnost části A je \(m_A=0,6.m_B\).

2.1 Nakreslete obrázek, vhodně zvole souřadnicový systém a zapište zákon zachování hybnosti pro mimozemskou raketu před a po rozdělení.
2.2 Zapište zákon zachování hybnosti pro danou soustavu ve složkovém tvaru.
2.3 Vypočtěte úhel  \(\beta\), o který se odkloní část rakety B.

3) Soustava dvou hmotných bodů o \(m_1=17\:g\) a \(m_2=3,5\:g\), které jsou od sebe vzdáleny o \(d=0,3\:m\), rotuje kolem osy procházející hmotným středem T kolmo na spojnici hmotných bodů. Soustava se z klidu roztáčí konstatním úhlovým zrychlením \(\epsilon=1,7\:rad/s^2\).

3.1 Zvolte součadnicový systém tak, že oba hmotné body leží na ose \(x\) a \(m_1\) leží v počátku soustavy souřadnic. Vypočtěte součadnice hmotného středu \(T=[x_T,y_T]\).
3.2 Určete moment setrvačnosti soustavy vzhledem k dané ose.
3.3 Vypočtěte kinetickou energii, které soustava dosáhne za \(t=38\:s \) od počátku pohybu.

4) Otevřená válcová nádrž o vnitřním průměru \(d_1=0,7\:m\) je naplněna ethanolem o hustotě \(\rho_E=789\:kg/m^3\) do výšky \(h=1,2\:m\). Na dně nádrže je umístěn kohoutek o průměru \(d_2=11​​​mm\), kterým lze ethanol čerpat.

4.1 Vypočtěte počáteční výtokovou rychlost ethanolu při otevření kohoutku na dně nádrže.
4.2 Vypočtěte objemový tok ethanolu odpovídající počáteční výtokové rychlosti.
4.3 Vypočítejte čas v minutách potřebný na vyprázdnění poloviny nádrže pří objemovém toku odpovídajícímu počáteční výtokové rychlosti.

5) Paprsek monochromatického světla o vlnové délce \(\lambda=650\:nm\) dopadá ze vzduchu na planparalelní plastovou desku pod úhlém \(\alpha_1=56°\) vzhledem ke kolmici rozhraní. Po průchodu deskou se láme opět do vzduchu. Index lomu vzduchu je \(n_v=1,00\) a index lomu plastové desky \(n_p=1,64\). Rychlost šíření světla ve vzduchu je \(c=3.10^8\:m/s\).

5.1 Nakreslete do jednoho obrázku chod paprsku na rozhraní vzduch-plast a po průchodu deskou na rozhraní plast-vzduch. Znaménky \(<,>,=\) porovnejte úhly, pod kterými se světlo při průchodu prostředími láme.
5.2 Určete úhel lomu \(\alpha_2\) na rozhraní vzduch-plast.
5.3 Vypočtěte frekvenci a vlnovou délku paprsku v plastové desce.

6) Částice vletí v čase \(t_0=0\:s\) počáteční rychlostí \(v_0=9,7.10^2\:m/s\) do silového pole a pohybuje se zde přímočaře. Zrychlení částice v čase narůstá tak, že v čase \(t_0\) měla zrychlení \(a_0=2\:m/s^2\) a v čase \(t_1=15\:s\) měla zrychlení \(a_1=47\:m/s^2\).

6.1 Nakreslete závislost zrychlení na čase.
6.2 Napiště vztah pro zrychlení částice jako funkci času a určete velikost zrychlení v čase \(t_2=18\:s\).
6.3 Napiště vztah pro rychlost částice jako funkci času a určete velikost rychlosti v čase \(t_3=5\:s\).
Příklad navíc:
6.4 Slovně popište typ pohybu částice
6.5 Napiště vztah pro výpočet dráhy částice jako funkci času.

7) Ze střechy se skutálel míč. Střecha má sklon \(\alpha=27°\) a její okraj je ve výšce \(h_0=17\:m\) nad zemí. Míč padá ze střechy počáteční rychlostí \(v_0=2,13\:m/s\).

7.1 Nakreslete obrázek, vhodně zvolte souřadnicový systém a napiště pohybové rovnice pro míč padající ze střechy.
7.2 Vypočtěte čas, za který dopadne čas ze střechy na chodník.
7.3 Vypočtěte velikost rychlosti při dopadu.
Příklad navíc:
7.4 Vypočtěte vodorovnou vzdálenost od paty budovy, kam míč dopadne.

8) Kmen smrku ve tvaru válce o průměru \(d=19\:cm\) a hmotnosti \(m=70\:kg\) je třeba vyložit valením z přívěsu, který je ve výšce \(h=0,8\:m\) nad zemí.

8.1 Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k podélné ose kmene.
8.2 Vypočtěte rychlost u paty nakloněné roviny, po které kmen vykládáme z přívěsu.
8.3 Vypočtěte práci sil potřebnou na zastavení kmene u paty nakloněné roviny.

9) Vodorovným potrubím, které je na jednom konci zúžené, protéká plyn. Hustota plynu je \(\rho=1,76\:kg/m^3\), vnitřní průřez v nezúžené části je \(S_1=32\:cm^2\) a ve zúžené části \(S_2=21\:cm^2\). Rozdíl tlaků v obou místech je \(\triangle p=80\:Pa\). Předpokládejte, že plyn proudí jako ideální kapalina.

9.1 Porovnejte znaménky \(<,>,=\) rychlosti a tlaky ve zúžené a nezúžené části.
9.2 Vypočtěte velikost rychlosti v širší části potrubí.
9.3 Vypočtěte objemový průtok.

10) Optické vlákno se skládá ze skleněného jádra o indexu lomu světla \(n_s=1,76\), které je obklopeno pláštěm o indexu lomu \(n_p=1,68\). Paprsek světla vstupuje ze vzduchu do vlákna pod úhlem \(\alpha\).

10.1 Nakreslete chod vstupujícího paprsku optickým vláknem plnícím svou funkci.
10.2 Vypočtěte mezní úhel na rozhraní skleněné jádro-plášť.
10.3. Vypočtěte největší úhel, pod kterým paprsek může vstoupit ze vzduchu do skleněného jádra, aby na rozhraní skleněné jádro-plášt ještě neprocházel skrz (aby se nelámal do pláště, ale procházel stále skleněným jádrem).