Matice

O kurzu

V dnešním kurzu začneme lineární algebru. Nadefinujeme si pár základních pojmů jako lineární závislost a nezávislost a naučíme se počítat matice a determinanty.

1) Rozhodněte, zda jsou vektory v daných systémech lineárně závislé či nezávislé a určete hodnost matice v HT tvaru

a) \(\vec{u_1}=(1,0,-1,2), \vec{u_2}=(1,1,0,1), \vec{u_3}=(2,1,1,-1), \vec{u_4}=(0,0,1,2)\)

b) \(\vec{u_1}=(1,4,-3,2), \vec{u_2}=(-1,0,1,4), \vec{u_3}=(1,8,-5,8), \vec{u_4}=(0,4,-2,6)\)

c) \(\vec{u_1}=(1,2,3,-4), \vec{u_2}=(2,4,6,-8), \vec{u_3}=(10,20,30,-40)\)

 

Rozhodněte v závislosti na hodnotě parametru \(k \in R\), zda jsou vektory lineárně závislé/ nezávislé a určete hodnost matice.

\(\)\(\vec{u_1}=(1,0,2), \vec{u_2}=(1,1,k), \vec{u_3}=(0,1,1)\)

 

S danými maticemi udělejte níže popsané operace

\(A=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 7 \\ \end{pmatrix}\), \(\)\(A=\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 9 & -3 \end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

a) \(3A=\)

b) \(-2B=\)

c) \(A+C=\)

d) \(A^T\), \(B^T\)

 

Násobte dané matice podle zadání. Lze provést všechna vypsaná násobení?

\(A=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 7 \\ \end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 7 \\ 0 & 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

a) \(A.B=\)

b) \(B.A=\)

c) \(C.D=\)

d) \(D.C=\)

 

Pomocí Frobeniovy věty určete počet řešení daných rovnic a Gaussovou eliminací řešení nalezněte

a) \(2x-4y+3z=1\\ x-2y+4z=3\\ 3x-y+5z=2\)

b) \(2x-3y+4z=0\\ x-9y+11z=0\\ x+y-z=0\)

c) \(x+y+z=1\\ x-y+2z=1\\ 2x+3z=2\)

d) \(2a+3b-2c=7\\ 2a+b-3c+d=2\\ b+c-d=4\)

 

Vyřešte soustavu rovnic v závislosti na parametru \(a \in R\)

\(x+ay=1\\ ax+y=a, a\in R\)

 

Vypočítejte následující determinanty

a) \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -4 & 7 \\ \end{vmatrix}\)

b) \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2\\ \end{vmatrix}\)

c) \(\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}\) pomocí Sarrusova pravidla i rozvolem podle libovolného řádku/sloupce

d) \(\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 1\\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 1&5\\ 2 & 2 & 1&4 \end{vmatrix}\) pomocí rozvoje podle libovolného řádku/sloupce

 

Pomocí Cramerova pravidla nalezněte řešení soustavy 

\(5x+5y+z=2\\ 3x-4y-3z=1\\ -2x+y+z=-1\)