Dvojný integrál I

O kurzu

V dnešním kurzu si na úvod spočítáme ještě dva příklady z minulé lekce a poté se vrhneme na výpočet dvojného integrálu.

1) Vypočtěte křivkový integrál \(\int_K { \vec F\:} d\vec r\), kde \(\vec F(x,y)=({x^2+y^2\over y},x)\) a křivka \(K\) je oblouk kružnice \(x^2+y^2=16\) s počátečním bodem \(A=(4;0)\) a koncovým bodem \(B=(0;4)\). Integrační cesta z bodu \(A\) do bodu \(B\) je ve směru hodinových ručiček.

2) Ověřte, že diferenciální forma \( (1-{1\over y}+{y \over z}) \:dx+({x\over z}+{x\over y^2})\:dy+(2z-{xy\over z^2})\:dz\) je totálním diferenciálem funkce \(f(x,y.z) \) na oblasti \(G\). Určete tuto oblast a funkci \(f(x,y,z)\) tak, aby platilo \(f(2,2,2)=4\).

Dvojné integrály

3) Vypočtěte dvojný integrál \(\int \int cos(x+y)\:dxdy\) přes trojúhelníkovou množinu \(M\), která je ohraničena body \(A=(-2;0)\\ B=(2;0)\\ C=(0,2)\). 

4) Nakreslete integrační obor integrálu \(\int_{-4}^0 (\int_{-{1\over y}}^2 cos({x-y\over x})\:dx)dy\), zaměňte pořadí integrací a zintegrujte.

5) Vypočtěte dvojný integrál \(\int \int xy\:dxdy\) přes množinu \(M=\{[x,y]\in R^2; x^2+y^2\leq 4\:,\: y\geq x+2\}\). Nakreslete integrační obor.

6) Vypočtěte dvojný integrál \(\int \int {ln(x^2+y^2)\over x^2+y^2}\:dxdy\) přes množinu \(M=\{[x,y]\in R^2; 1 \leq x^2+y^2\leq e^2\:,\: y\geq 0 \:, \: x \leq 0\}\). Nakreslete integrační obor.

7) Vypočtěte objem tělesa, které je sestrojeno nad množinou  \(D=\{[x,y]\in R^2; 1 \leq x^2+y^2\leq 9\:,\: y\leq 0 \:, \: x \leq 0\}\) a shora ohraničené funkcí \(f(x,y)=xy\).