Příprava na zkouškovou písemku I

O kurzu

V dnešním kurzu si probereme typové příklady, které by nás mohly potkat ve zkouškové písemce.

1) Nalezněte matici reprezentující inverzní zobrazení k lineárnímu zobrazení \(L(x_1,x_2,x_3)=(-x_1+x_2, 2x_1+3x_3,x_2+2x_3)\). Vypočtěte souřadnice vektoru \(\vec y=L(5,-2,1)\) a vektoru \(\vec x\), pro který platí \(L(\vec x)=(5,-2,-1)\).

2) Dokažte, že na okolí bodu \(A=(1,1)\) je rovnicí \(x\sqrt y+ln(x)+y^2-2=0\) definovaná implicitně zadaná funkce \(y=f(x) \). Má v bodě \(x_0=1\) lokální extrém? Je na okolí bodu \(x_0=1\) konvexní nebo konkávní? Načrtněte graf implicitně zadané funkce \(y=f(x) \) na okolí bodu \(x_0=1\).

3) Pomocí metody odhadu nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y''+2y'=5e^{-x}\), které vyhovuje počáteční podmínce \(y(0)=-5e\\ y'(0)=1\).

4) Pomocí Newtonovy metody vypočtěte první aproximaci soustavy \(2-x-y^2=0\\ y-cos(x)=0\), je-li nultá aproximace \((x_0,y_0)=({\pi\over 2},0)\). Kolik má soustava řešení?

5) Nalezněte obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic \(x'=5x-y\\ y'=2x-2y\).

6) Rozhodnotě, zda je vektorové pole \(F(x,y,z)=(y+2z^2x,x-{1\over 2 \sqrt y},2x^2z)\) potenciální na množině \(\{(x,y,z)\in R^3;y>0\}\). Vypočtěte křivkový integrál \(\int_K\vec Fd\vec r\), kde křivka \(K\) je dána parametrickými rovnicemi \(x=3sin(t)\\ y=2+sin(t)\\ z=cos(t), t \in <0;\pi>\).

7) Vypočtěte \(\int\int_D(2-{y^2\over x})dxdy\), kde množina \(D\) je ohraničena křivkami \(x^2-x +y =0\) a \(x^2-x-y=0\).

8) Pomocí inverzní matice vyřešte soustavu rovnic \(4x+3y=4\\ 2x+2y-2z=0\\ 5x+3y+z=-2\).

9) Pomocí metody nejmenších čtverců aproximujte závislost \(y(x)\) pomocí rovnice \(y=ax+b\). Zakreslete obrázek s jednotlivý body z tabulky a funkcí \(y=ax+b\).

10)  Pomocí metody variace konstant nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y''-9y=12e^{2x}\), které vyhovuje počáteční podmínce \(y(0)=-1\\ y'(0)=-3\).

11) Určete a nakreslete definiční obor funkce \(f(x,y)=ln{-x^2-y^2+4 \over x^2+y^+16}\). Je definiční obor množina otevřená, souvislá a konvexní? Náleží hranice definičnímu oboru? Vypočtěte gradient funkce v bodě \(A=(3,0)\).

12) Vypočtěte dvojný integrál \(\int\int_M e^{-x\over y}dxdy\), kde mnozina \(M\) je trojúhelník s vrcholy \(A=(-1,1)\\ B=(0,0)\\ C=(1,1)\).

13) Vypočtěte práci síly \(F(x,y,z)=(y^2z,2xyz,xy^2)\), kterou vykoná tato síla po křivce \(K\) s počátečním bodem \(A=(3,2,1)\) a koncovým bodem \(B=(1,2,3)\). Závisí tato práce na cestě?

14) Ověřte, že na okolí bodu \(A=(1,0,1)\) je rovnicí \(x^2z-yz^3-x=0\) implicitně definovaná funkce \(f(x,y)\). Napište Taylorův polynom prvního stupně v bodě \((1,0)\) a vypočtěte \(\frac{\partial^2 f(1,0)}{\partial y^2}\).